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Dénombrement et variable aléatoire

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Dénombrement

Nombre de permutation sur un ensemble fini

Définition 1: E est un ensemble.

-Une permutation de E est une bijection de E dans lui même

Définition 2: E est un ensemble tel que card E = n (E non nul)

Une permutation de E est un n-uplet formé avec tous les élémentsde E

Ex: pour 4 éléments donne un quadruplet

Définition 3: Pour tout n ∈ N\{0}, on note n! et on appelle "factorielle n" le nombre:

1*2*3*...*n-1*n ) πk-1n k

Remarque: 0! = 1

Propriété de la permutation:

Le nombre de permutation d'un ensemble à n éléments est: n!

Arrangements

Définiton d'un arrangement

E est un ensemble tel que card E différent de 0

(n∈N*)

p est un entier tel que: 1≤p≤n

Un arrangement de p éléments de E est p-uplet (ou suite à p évènement) de p éléments différent d E

Un arrangement est donc une permutation dans un ensemble où l'ordre des éléments est pris en compte

Exemple: E {a,b,c,dne,f}

(d,ane) est un arrangement à 3 éléments de E

(e,d,a) est autre un arrangement à 3 éléments de E

Propriété des arrangements

Avec 1≤p≤n

Le nombre d'arrangements à p éléments dans un ensemble de n éléments vaut: Apn = (n!)/(n-p)!

Combinaisons

Définition d'une combinaison

E est un ensemble tel que card E = n et n est non nul

p est un entier tel que: 0≤ p≤ n

Une combinaison à p éléments de E est un sous ensemble à p éléments de E

Une combinaison est donc une permutation dans un ensemble où l'ordre des évènements n'est pas pris en compte

Exemple:

E = {a,b,c,dne}

(a,dne) est une combinaison à 3 éléments de E

(e,a,d) est la même combinaison à 3 éléments de E

Propriété des combinaisons

Le nombre de combinaison de p éléments dans un ensemble E vaut: (np) = (n!)/(p! *(n-p)!)

REMARQUE:

(0n) = n!/ (0!*(n-0)!) = n!/n! = 1

(nn) = 1

Propriété des nombres (np)

(nn-p) = np

(n-1p-1)+ (n-1p) = np

Triangle de Pascal

Remarque: on utilise (np)

-> Case 0;0 = (00)

n\p 0 1 2 3 4
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1

REMARQUE: dans une case on a la somme de deux colonnes de la ligne du dessus

Une utilisation: développement du binôme

(a+b)0 = 1

(a+b)2 = a²+2ab+b²

(a+b)3 = a3+ 3a²b+3ab²+b3

(a+b)4 = a4+4a3b+6a²b²+4ab3+b4

...

Les coefficients du développement sont les cases de la ligne de l'exposant dans triangle de pascal

Formule générale: (a+b)n = k = 0n (kn) an-kbk

Variable aléatoire

Définition d'une variable aléatoire

On considère un univers fini Ω

Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction qui a tout éléments de Ω associe un nombre réel

Exemple:

Ω: {vert;bleu;rouge}

Tirer une boule bleu rapporte +1, une verte -10 et une rouge +2

-> X(bleu) = 1; X(vert) = -10; X (rouge) = 2

Loi de Probabilité

On note la loi de probabilité: p(X = a)

La loi de probabilité est la probabilité que la variable X prenne la valeur a

Si on avait 1 boule verte, 2 bleues et 4 rouges on aurais:

p(X = -10) = 1/7; p(X = 1) = 2/7 et p(X = 2) = 4/7

Espérence mathématique

X: une variable aléatoire sur un univers finie ω

X prend les valeurs de l'ensemble E {x1x2...xn} = {xi}

-> 1≤ i ≤ n

On note l'espérance de X : E(X) ou /X

L'espérance vaut: E(X) = /X = i = 1n xi*p(X = i) = i = 1n pi*xi

REMARQUE: l'espérance de X est la valeur de la moyenne des gains pour un très grand nombre d'expérience

Variance et écart-type

On note la variance : V(X)

La variance vaut: V(X) = i = 1n pi*(xi-/X )² = i = 1npixi²- (/X)²

On note l'écart type: σ (X)

L'écart-type vaut: σ (X) = √(V(X))

Propriétés

a∈ R et b∈R

X: une variable aléatoire

E(aX+b) = a(X)+b

V(aX+b) = a²*V(X)

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