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La continuité d'une fonction|Maths terminale

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I Fonction continues

1) Continuité en un point

f, une fonction de la variable x, un réel

-> On a la fonction f(x)

Définition de la continuité d'une fonction (1)

f est une fonction continue en "a" si:

-f est définie en "a"

-Quand x tend vers a, lim f(x) existe et est finie

Définition de la continuité d'une fonction (2)

f est continue en "a" si:

-f est définie en "a"

-Quand x tend vers a, lim f(x) = f(a)

2) Fonction continue

Une fonction f est continue sur un ensemble D si:

f est définie et continue en tout point de D

Théorème sur les fonctions continues

-La somme, la différence et le produit de deux fonction continue donne une fonction continue

-Le rapport entre 2 fonctions continues donne une fonction continue tant que la fonction au dénominateur est non nul

Soit U et V, deux fonctions continues

-La fonction V(U(x)) est continue sur tout l'intervalle où V(U(x)) est définie

3) Domaine de continuité des fonctions de références

f(x) Domaine de définition
k R
x R
xn R
1/xn R*
√(x) R+

4)Un exemple de fonction non continue sur R

La fonction "partie entière" n'est pas continue sur R

Pour tout x ∈ R:

E(x) = n

et n &isin Z

Pour x ∈ [-5;5]

E(x) pour les valeurs -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6

->Il n'y a pas les valeurs intermédiaires

Exemple: E(3,9)= 3 et E(4,1) = 4

comme pour tout x de R, E(x) est un entier (positif ou négatif), E(x) n'existe pas entre deux entiers

->E(x) n'est pas continue sur R, mais est définie sur R

II Théorème des valeurs intermédiaires

1) théorème des valeurs intermédiaires

Soit:

-a et b ∈R et b>a

f: une fonction définie sur [a;b]

m: la plus petite valeur prise par f sur [a;b]

M: la plus grande valeur prise par f sur [a;b]

Si: λ ∈[m;M] et Si: f est continue sur [a;b]

Alors il existe un x0 ∈ [a;b] tel que f(x0) = λ

->f(x) = λ a au moins une solution dans [a;b]

->La courbe de la fonction f passe donc forcément par le point [x0;λ]

Remarque:

Si: f est continue sur [a;b]

Alors: f prend toutes les valeurs comprise entre f(a) = f(b)

2) théorème des bijections

Soit:

f: une fonction continue croissante et strictement monotone sur [a;b]

Pour tout λ ∈ [f(a);f(b)]

il existe un unique x0 ∈[a;b] tel que f(x0) = λ

Remarque: Dans ces deux théorèmes, on dit que f établit une bijection de [a;b] sur [m:M]

3) Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires et du théorème de bijection

Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires et du théorème de bijection à tous les intervalles fermé ou non, borné ou non

Soit:

a ∈ R ou a = -∞

b ∈ R ou b = +∞

α ∈ R ou α = -∞ ou α = +∞

Β ∈ R ou Β = -∞ ou Β = +∞

λ: un réel

ET:

I: in intervalle bornée par a et b avec b>a

α = f(a) ou α = lim(f(x)) quand x tend vers a

Β = f(b) ou Β = lim(f(x)) quand x tend vers b

Théorème des valeurs intermédiaires généralise:

Si: f est continue sur I ET Si λ ∈ ]α ; Β [

Alors: il existe un x0 ∈ ]a;b[ tel que f(x0) = λ

Et Si f est strictement monotone sur ]a;b[, alors x0 est unique

Définition d'application

Application de E dans F: Pour tout x ∈E, ∃ ! y ∈ F tel que y = f(x)

Définition de bijection

Bijection de E dans F: application de E dans F et pour tout y ∈ F, ∃ ! x ∈E tel que y = f(x)

La suite: Dérivation

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