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Chapitre 6 La trigonométrie

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Sens positif: sens inverse des aiguilles d'une montre

Sens négatif: sens des aiguilles d'une montre

I Angle orienté de deux vecteurs s

-Angle créé par 2 vecteurs non nul (ex: vecteur $u↖ {→}$ et vecteur $v↖ {→}$)

Pour calculer l'angle ($u↖ {→};v↖ {→}$), on calcul l'angle en partant de u et en allant vers v selon le sens inverse des aiguilles d'une montre

REMARQUE: généralement l'angle ($u↖ {→}$;v↖ {→})≠(v↖ {→};u↖ {→}$)

REMARQUE: ($u↖ {→};v↖ {→})+(v↖ {→};u↖ {→}$) = 360° (=2π) avec le même sens de rotation

1) Mesure d'un angle orienté

-Repère O,I,J dans un repère orthonormé

a) Cercle trigonométrique

-Noté C

Centre: 0

Rayon: 1

Origine: i, sens de parcours: positif

cercle trigonométrique

b) Repère d'un réel sur le cercle trigonométrique

-Mesure des angles en radian

➥ Angle plat (180°) = π

Pour placer un réel sur le cercle, on enroule l'axe des réels sur le cercle

REMARQUE: j (0;1) = 90° = 2π

➥Les réels positif sont enroulé dans le sens positif

➥Les réels négatif sont enroulé dans le sens négatif

-Pour chaque réel x on associe 1 point M sur le cercle trigonométrique

x est la mesure de l'angle orienté (OI;OM)

-Pour chaque Point M du cercle trigonométrique, on associe une infinité de réel x

➥Noté x +k ✕ 2π (avec k un entier)

Ex: l'angle orienté (OI;OM) = x+k ✕ 2π, (ou (OI;OM) = x[2π] (modulo 2π))

c) Mesure d'un angle orienté de 2 vecteurs

Mesure d'un angle orienté

On reporte les 2 vecteurs u et v sur le cercle trigonométrique C sur son 0 en gardant leur orientation

Soit M le point d'intersection entre v et C et N le point d'intersection entre u et C

➨ On a donc angle (OM;ON) = angle (u;v)

Si on associe une valeur α au point M et une valeur β au point N

(u;v)=(OM;ON)=β-α

d) Mesure principale

-Sur l'intervalle ]-π;π], chaque angle a une seul mesure appelée mesure principale

Ex: La mesure principale de l'angle $(26π)/6 = 4π + π/6$ = $π/6$ [2π]

➥cette mesure équivaut à la forme réduite ou "simplifiée" de l'angle

2)Propriétés

Soit u et v et w des vecteurs

(u;u) = 0 [2π]

(u;-u) = π [2π]

(u;v) = -(v;u) [2π]

(u;w) = (u;v)+(v;w) [2π]

(-u;-v) = (u;v) [2π]

(-u;v) = (u;-v) = (u;v) + π

II Trigonométrie

1) Définition

Soit une repère (O,I,J) orthonormé de sens direct

Soit un cercle trigonométrique C de centre O

Soit M un point sur C, représentant du réel x, mesure en radian de l'angle (OI;OM)

Les coordonnées de M(cos(x);sin(x))

cosinus(x) = abscisse et sinus(x) = ordonnée d'un point du cercle C

2) Valeur remarquable

cos(0)=1

sin(0)=0

cos($π/2$)=0

sin($π/2$)=1

cos($π/3$) = $1/2$

sin($π/3$) = ${√3}/2$

cos($π/6$) = ${√3}/2$

sin($π/6$) = $1/2$

cos($π/4$) = ${√2}/2$

sin($π/4$) = ${√2}/2$

3) Propriétés

-Pour tout x réel

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

-1 ≤ sin(x) ≤ 1

cos (x +k ✕ 2π) = cos (x)

sin (x +k ✕ 2π) = sin (x)

cos²(x)+sin²(x) = 1

[$π/2;{-π}/2$]: le cosinus est négatif

[π;0]: le sinus est négatif

➥cf l'enroulement des réels

4) angle associés

Soit un angle α de coordonnés, cos(α); sin(α)

-Le symétrique de α par rapport à l'axe des abscisses à pour coordonnés cos(α); -sin(α)

➥ cos(π+α) = cos(α) et sin(π+α) = -sin(α)

-Le symétrique de α par rapport à l'axe des ordonnées à pour coordonnés -cos(α); sin(α)

➥ cos(π-α) = -cos(α) et sin(π-α) = sin(α)

cos(-α) = cos(α)

sin(-α) = - sin(α)

IMPORTANT:

cos(($π/2$)-α) = sin(α)

sin(($π/2$)-α) = cos(α)

5) Formule d'additions

cos(a+b) = cos(a) ✕ cos(b) - sin(a) ✕ sin(b)

cos(a-b) = cos(a) ✕ cos(b) + sin(a) ✕ sin(b)

sin(a+b) = sin(a) ✕ cos(b) + sin(b) ✕ cos(a)

sin(a-b) = sin(a) ✕ cos(b) - sin(b) ✕ cos(a)

6) Formules de duplication

-Avec a=b=x

Cosinus

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Sinus

sin(2x) = sin(x) ✕ cos(x) + sin(x) ✕ cos(x)

➥ sin(2x) = 2 ✕ sin(x) ✕ cos(x)

7) Formule de linéarisation

cos²(x) = $(1+cos(2x))/2$

sin²(x) = $(1-cos(2x))/2$

8) Equation trigonométriques

a) cos(x) = a

-On cherche à résoudre dans R cos(x) = a , avec a un réel

Si a<-1 ou a>1

➥Pas de solutions (Le cercle trigonométrique est de rayon 1)

Si -1≤a≤1

-Solutions dans R:

x = α [2π]

x = -α [2π]

➥symétrique à α par rapport à l'axe des abscisses

Ex: cos(x) = ${-1}/2$

➥ x = ${2π}/3$ [2π] et x = ${-2π}/3$ [2π]

b) sin(x) = b

Si b<-1 ou b>1

➥Pas de solutions (Le cercle trigonométrique est de rayon 1)

Si -1≤b≤1

-Solutions dans R:

x = α [2π]

x = π-α [2π]

➥symétrique à α par rapport à l'axe des ordonnées

Ex: sin(x) = ${√3}/2$

➥ x = $π/3$ [2π] et x = ${2π}/3$ [2π]

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