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Chapitre 9 Probabilité, première

Les probabilités se font avant une expérience, elles prévoient les Statistiques

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Les probabilités: notions à connaître

Univers: Ensemble de tout les résultat de l'expérience

Éventualité/issue: Un résultat d'expérience aléatoire

Évènement: Ensemble d'éventualité (= subdivision d'un univers

Évènement impossible: Univers exclus de toutes les éventualités

Ensemble A et B incompatible : A∩B = Ø

Ensemble A complémentaire de B: A∩B = U (univers)

->AUB = Ø et A se note /B (B barre)

I Variable aléatoire

1) Définition

-Une variable aléatoire discrète est une fonction qui associe à chaque issue un réel

->Notée X, elle englobe toute l'expérience

-xi est le réel associé à l'issue i

2) Loi d'une variable aléatoire

On associe à une valeur xi une probabilité d'apparition notée p(X=xi) ou pi

->Se lit: probabilité que le résultat de X soit xi

Exemple: on tire un dés à 6 faces, on choisis xi=6

-p(X=6): 1/6 (ou p(xi = 1/6)

3) Espérance de X

C'est le nombre vers lequel tend la moyenne X quand le nombre de répétition d'expérience est très élevé

E[X] = ∑i=ni=1 = xi*p(xi)

->C'est la somme des éventualités (résultats) marqués de leur probabilité

=>On obtientune sorte de moyenne des résultat d'une expérience aléatoire

4) Variance V

Comme pour les statistiques, la variance sert à calculer l'écart type

V(X) = ∑(xi-E[X])²*pi

->Somme d'une issue moins l'espérance au carré, multiplié par la probabilité d'apparition de xi

Écart type

σ = √V(X)

->C'est la moyenne des écarts entre le résultat xi et l'espérance E[X]

Propriétés:

-On peut transformer une variable X en fonction affine, avec a et b des réels

Y: une autre variable aléatoire

Y = aX+b

->b symbolise la valeur de départ

->a symbolise un coefficient

=>Cela permet de mettre en relation 2 expérience aléatoire

-On dit qu'une expérience aléatoire est égale à une autre coefficientée

->On peut donc les comparer, cela évite aussi de refaire des expériences car il suffit de mettre un coefficient

On a aussi:

E(Y) = a*E[X]+b

V(Y) = a²*V(X)

->Les coefficients s'appliquent aussi aux calculs de variance, d'espérance

=>On peut donc aussi comparer des écarts type et espérance de deux expériences différentes

II Loi binomiale e

1) Épreuve de Bernoulli

-On appel "épreuve de Bernoulli", une expérience aléatoire qui:

-N'as que 2 issues et qui sont contraire

->S (Succès) l'issue favorable

->E (Échecs) l'issue défavorable (= non S ou /S)

-On note la probabilité de succès "p"

->La probabilité d'échecs est donc: 1-p

Schéma de Bernoulli

-On appel schéma de Bernoulli une répétition de n épreuves de Bernoulli

->Ces épreuves doivent être identiques et indépendante

2) Définition de la loi binomiale e

X: variable aléatoire égal au nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de "n" épreuves où la probabilité est de "p"

-La loi binomiale e de X est notée: B(n;p)

-On déduit la probabilité de X à l'aide l'arbre (cf plus pas)

-> On compte le nombre de chemins menant à X succès

->On applique le principe multiplicatif aux probabilités de chaque branche du chemin

3) Représentation du schéma de Bernoulli par un arbre pondéré

schéma de Bernoulli

-On multiplie les probabilités quand on avance sur une branche

4) Coefficient binominaux

Soit k un nombre entier inférieur ou égale à n

-On appel coefficient binomiale e le réel noté (nk)

->Se lit de "k" parmi "n"

-C'est le nombre de chemin qui réalisent k succès parmi n épreuves de Bernoulli

Propriétés: (n1) = n, (nn) = 1, (nk) = (nn-k), (00) = 1

->Il y a autant de chemin conduisant à k succès qu'à k échecs

Pour calculer ce nombre, on utilise la calculette, cela s'appelle "combinaison" (math,probabilité,combinaison)

Exemple: 5 combinaison 2 = (52) = 10

5) Théorème de la loi binomiale e

Pour tout entier k: nombre de succès, inférieur ou égale à n

Calcule de probabilité de la loi B(n;p)

p(X=k) = (nk)*pk*(1-p)n-k

6) Triangle de Pascal

Propriété: (n+1k+1) = (nk)+ (nk+1)

On a donc un tableau de type: pour k allant de 0 à 5 et n allant de 0 à 5

n\k 0 1 2 3 4 5
0 1 - - - - -
1 1 1 - - - -
2 1 2 1 - - -
3 1 3 3 1 - -
4 1 4 6 4 1 -
5 1 5 10 10 5 1

III Echantillonage

-Intervalle de fluctuation de p de 95% d'une variable aléatoire X:

B(n;p): [a/n ; b/n]

Avec a: plus petit entier qui vérifie p(X≤k)>0,025

Avec b: plus grand entier qui vérifie p(X≤k)≥0,975

La suite du cours: les Statistiques

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