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Chapitre 9 Probabilité, première

Les probabilités se font avant une expérience, elles prévoient les Statistiques

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Les probabilités: notions à connaître

Univers: Ensemble de tout les résultat de l'expérience

Éventualité/issue: Un résultat d'expérience aléatoire

Évènement: Ensemble d'éventualité (= subdivision d'un univers

Évènement impossible: Univers exclus de toutes les éventualités

Ensemble A et B incompatible : A∩B = Ø

Ensemble A complémentaire de B: A∩B = U (univers)

➥AUB = Ø et A se note $B↖ {-} $(B barre ou /B en informatique)

I Variable aléatoire

1) Définition

-Une variable aléatoire discrète est une fonction qui associe à chaque issue un réel

➥Notée X, elle englobe toute l'expérience

-xi est le réel associé à l'issue i

2) Loi d'une variable aléatoire

On associe à une valeur xi une probabilité d'apparition notée p(X=xi) ou pi

➥Se lit: probabilité que le résultat de X soit xi

Exemple: on tire un dés à 6 faces, on choisis xi=6

-p(X=6): $1/6$ (ou p(xi = $1/6$)

3) Espérance de X

C'est le nombre vers lequel tend la moyenne X quand le nombre de répétition d'expérience est très élevé

E[X] = $∑↙{i=1}↖n$ (xi ✕ p(xi))

➥C'est la somme des éventualités (résultats) marqués de leur probabilité

➨On obtientune sorte de moyenne des résultat d'une expérience aléatoire

4) Variance V

Comme pour les statistiques, la variance sert à calculer l'écart type

V(X) = $ ∑↙{i=1}↖n$ (p(xi) ✕ (xi-E[X])²)

➥Somme d'une issue moins l'espérance au carré, multiplié par la probabilité d'apparition de xi

Écart type

σ = √V(X)

➥C'est la moyenne des écarts entre le résultat xi et l'espérance E[X]

Propriétés:

-On peut transformer une variable X en fonction affine, avec a et b des réels

Y: une autre variable aléatoire

Y = aX+b

➥b symbolise la valeur de départ

➥a symbolise un coefficient

➨Cela permet de mettre en relation 2 expérience aléatoire

-On dit qu'une expérience aléatoire est égale à une autre coefficientée

➥On peut donc les comparer, cela évite aussi de refaire des expériences car il suffit de mettre un coefficient

On a aussi:

E(Y) = a ✕ E[X]+b

V(Y) = a² ✕ V(X)

➥Les coefficients s'appliquent aussi aux calculs de variance, d'espérance

➨On peut donc aussi comparer des écarts type et espérance de deux expériences différentes

II Loi binomiale

1) Épreuve de Bernoulli

-On appel "épreuve de Bernoulli", une expérience aléatoire qui:

-N'as que 2 issues et qui sont contraire

S (Succès) l'issue favorable

E (Échecs) l'issue défavorable (= non S ou $S↖{→}$)

-On note la probabilité de succès "p"

➥La probabilité d'échecs est donc: 1-p

Schéma de Bernoulli

-On appel schéma de Bernoulli une répétition de n épreuves de Bernoulli

➥Ces épreuves doivent être identiques et indépendante

2) Définition de la loi binomiale

X: variable aléatoire égal au nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de "n" épreuves où la probabilité est de "p"

-La loi binomiale de X est notée: B(n;p)

-On déduit la probabilité de X à l'aide l'arbre (cf plus pas)

➥ On compte le nombre de chemins menant à X succès

➥On applique le principe multiplicatif aux probabilités de chaque branche du chemin

3) Représentation du schéma de Bernoulli par un arbre pondéré

schéma de Bernoulli

-On multiplie les probabilités quand on avance sur une branche

4) Coefficient binominaux

Soit k un nombre entier inférieur ou égale à n

-On appel coefficient binomiale le réel noté $(\table n;k)$

➥Se lit de "k" parmi "n"

-C'est le nombre de chemin qui réalisent k succès parmi n épreuves de Bernoulli

Propriétés: $(\table n;1) = n$

$(\table n;n) = 1$

$(\table 0;0)$ = 1

(\table n; k ) = (\table n;n-k)$

➥Il y a autant de chemin conduisant à k succès qu'à k échecs

Pour calculer ce nombre, on utilise la calculette, cela s'appelle "combinaison" (math,probabilité,combinaison)

Exemple: 5 combinaison 2 = (52) = 10

5) Théorème de la loi binomiale

Pour tout entier k: nombre de succès, inférieur ou égale à n

Calcule de probabilité de la loi B(n;p)

p(X=k) = $(\table n;k)$ ✕ pk ✕ (1-p)n-k

6) Triangle de Pascal

Propriété: $(\table n+1;k+1) = (\table n;k)+ (\table n;k+1)$

On a donc un tableau de type: pour k allant de 0 à 5 et n allant de 0 à 5

n\k 0 1 2 3 4 5
0 1 - - - - -
1 1 1 - - - -
2 1 2 1 - - -
3 1 3 3 1 - -
4 1 4 6 4 1 -
5 1 5 10 10 5 1

III Echantillonage

-Intervalle de fluctuation de p de 95% d'une variable aléatoire X:

B(n;p): [$a/n ; b/n$]

Avec a: plus petit entier qui vérifie p(X≤k)>0,025

Avec b: plus grand entier qui vérifie p(X≤k)≥0,975

La suite du cours: les Statistiques

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